我們在生活中經常遇到信號。比如說，股票的走勢圖，心跳的脈沖圖等等。在通信領域，無論是的GPS、手機語音、收音機、互聯網通信，我們發送和接收的都是信號。最近，深圳地鐵通信系統疑似與WiFi信號沖突，也就是地鐵的天線收到了WiFi的信號，而誤把該信號當作地鐵通信信號。我們的社會信息化，是建立在信號的基礎上的。

信號是隨著時間或者空間變化的序列。在信號處理中，我們常用“信號”來特指一維信號，也就是只隨單一一個時間或空間維度變化的序列，這樣的信號在數學上可以表示成f(t)或者f(x)這樣一個函數。與一維信號形成對應的是多維信號，比如說圖像是二維信號，它隨x,y兩個空間維度變化，從數學上表示成為f(x, y)。下面在沒有特別聲明的情況下，都使用“信號”來代指一維信號。

盡管信號的使用如此廣泛，但信號從數學意義上來并沒有什么神秘的地方，只是普通的序列(函數)。信號處理的方法可以通用于任何一個領域的信號(無論是通信、金融還是其他領域)，這也是信號處理的魅力所在。

簡諧波

正弦波和余弦波統稱為簡諧波。簡諧波是自然界最常見的波動。

正弦波

正弦波可以寫成函數的形式:

可以看到，一個簡諧波三個參數，振幅(A, amplitude)、頻率(f,frequency)、相位(phi, phase)。這三個參數分別控制正弦波的不同特征。通過調整它們，我們可以得到不同的正弦波信號。

左上：原始 右上：2倍振幅

左下：2倍頻率 右下：相位移動

可以看到，頻率高，“山峰”越密集。振幅高，“山峰”越高。相位改變，“山峰”的位置左右移動。(朋友說我是"用音量控制音調"：唱歌本應該改變頻率高低的時候，卻在改變振幅的高低。)

余弦波函數形式與正弦波類似，用cos表示。我們可以通過改變正弦波來從正弦波獲得余弦波。

傅立葉變換

簡諧波雖然簡單，但對信號處理具有重要意義。傅立葉是一名工程師，他發現，任何信號實際上都可以通過簡諧波相加近似得到。也就是傅立葉定理：任何一個信號都可以由簡諧波相加得到。因此，復雜的信號可以分解成為許多個簡單的簡諧波。一個信號由多個頻率的簡諧波相加得到。組成信號的某個簡諧波，稱為信號的一個分量。

顯示了我們如何用簡諧波的疊加來不斷趨近藍色的信號:

傅立葉變換是一套固定的計算方法，用于算出信號的各個分量(也就是上面的an,bn)。在信號處理時，可以將信號進行傅立葉變換，轉換為簡諧波的組合。通過分別控制各個頻率上的簡諧波分量，我們可以更加有效的進行信號處理。比如說，我們通信的時候可以使用高頻的簡諧波信號。但是接收信號的天線可能會收到其他頻率的干擾信號。這個時候，我們可以對接收到的混合信號做傅立葉變換，只提取目標高頻的分量。這是降低信號噪音的常用方法。傅立葉變換的過程有些復雜，但已經有大量的程序可以幫你進行。你所需要的只是輸入信號，計算機會幫你算出它的各個分量。

比如說，如果信號f(x)是周期性的，我們可以將它變換成：

也就是說，一個信號可以看做許多簡諧波的和。上面的a,b是可以通過原信號求得的參數為:

a, b代表了信號在各個頻率上的簡諧波分量的強弱(以及相位)。這樣，信號就分解為了簡諧波的和。由于簡諧波比較容易理解，我們可以通過研究這些分量，來明白復雜信號背后的機制。

頻譜

通過傅立葉變換，我們可以得到一個信號f(t)的不同頻率的簡諧波分量。每個分量的振幅，代表了該分量的強弱。將各個頻率分量的強弱畫出來，可以得到信號的頻譜。比如下圖是從每天降水序列中得到的頻譜:

可以看到，以1年為周期的簡諧波分量有一個明顯的高峰。也就是說，一年周期的分量有比較強。這是有物理原因的。因為降水總是以一年四季為周期有規律的變化。通過信號->Fourier Transform->頻譜，我們可以從簡諧波分量的角度，理解復雜信號是由哪些簡諧機制合成的。

傅立葉變換同樣可用于多維信號。把傅立葉變換用于二維信號，即圖像:

左邊是二維信號(圖像，f(x,y))。黑白可以用數值表示，即信號值。右邊是二維圖像的頻譜。X軸表示x方向的頻率，Y軸表示y方向的頻率，黑白表示不同頻率分量的振幅強弱。在下面一行中，Lenna被故意加上了噪聲，并引起頻譜的相應變化。頻譜的中心代表了低頻信號的振幅，頻譜遠離中心的地方代表了高頻信號的振幅。 我們下面和加入噪聲的圖像比較。

Lenna和她的頻譜

現在，在圖像中加入噪聲。可以看到，原圖像中各處增加了許多小“斑點”。這些斑點和原來的信號混合在一起。我們很難將一一指出這些噪音點。但另一方面，這些噪音又有一定的特征：這些噪音的空間尺度（即尺寸）很小。

這一對圖像噪音的理解，可以從頻譜中得到確認。從右圖的頻譜中可以看到，高頻信號(非中心部分)明顯增強。高頻分量正對應空間尺度小的信號。可見，噪聲在頻譜中，集中在高頻這一特定區域。這樣，在與原圖像混合在一起的噪聲，在頻譜上則和圖像區分開。通過高頻濾波技術，就可以過濾掉噪聲。這也是圖像降噪的一大方法。

(如果對圖像處理有所了解，那么一定會知道Lenna的大名。她是一位閣樓(Playboy)女郎，但又是圖像處理界的女神。你可以搜索"Lenna full image"來找到全圖。Lenna現在是一名老太太了，她“見證”了圖像處理的發展。)

總結

信號可以分解為不同頻率的簡諧波分量。這有助于我們更好的理解復雜的信號。傅立葉變換是信號處理(以及圖像處理)的基礎工具。通過傅里葉變換，我們可以獲得信號的頻譜。

頻譜為我們提供了理解信號的另一個視角。在頻率的世界里，我們可以發現很多原信號中一些可能被忽視的信息，比如降水的季節變化，比如增強的噪聲。